Fachübersicht
Das Modul berechnet den Wärmeübergang bei freier Konvektion an außen umströmten Körpern nach dem VDI-Wärmeatlas (12. Auflage 2019): an ebenen vertikalen und geneigten Platten, an horizontalen Platten mit Beheizung nach oben oder unten, am horizontalen querangeströmten Zylinder und an Kugeln. Über die Geometrieauswahl wird die jeweilige Anordnung mit ihrer Korrelation und charakteristischen Länge festgelegt; das Ergebnis sind Nusselt-Zahl, Wärmeübergangskoeffizient und Wärmestrom.
Den Wärmeübergang bei freier Konvektion berechnen muss man überall dort, wo Flächen ohne erzwungene Anströmung Wärme mit der Umgebung austauschen: Behälter- und Apparatewände, Rohrleitungen in ruhender Luft, Gehäuse und Elektronikbauteile, Heizflächen oder auskühlende Bauteile nach dem Abschalten. Die freie Konvektion bestimmt dann zusammen mit der Strahlung die Wärmeverluste und die Oberflächentemperaturen.
Grundlage sind die durchgehenden Korrelationen des VDI-Wärmeatlas (nach Churchill und Chu für Platte und Zylinder), die aus Rayleigh-Zahl und einer Prandtl-Zahl-Funktion die mittlere Nusselt-Zahl vom laminaren bis in den turbulenten Bereich beschreiben – ohne Fallunterscheidung an der Umschlaggrenze.
Anwendungsbereich
- Ebene Platte: Ebene vertikale oder geneigte Platten
- Ebene Platte: Horizontale Platte
- Horizontaler, querangeströmter Zylinder
- Kugeln
Typischer Arbeitsablauf
Geometrie wählen
Über die Geometrieauswahl wird die Anordnung festgelegt: vertikale oder geneigte Platte, horizontale Platte (Wärmeabgabe nach oben oder unten), horizontaler Zylinder oder Kugel. Damit sind Korrelation und charakteristische Länge bestimmt – bei der vertikalen Platte die Höhe, bei der horizontalen Platte das Verhältnis von Fläche zu Umfang, beim Zylinder und der Kugel die aus dem Durchmesser gebildete Überströmlänge.
Temperaturdifferenz und Stoffwerte bestimmen
Aus Oberflächentemperatur und Fluidtemperatur außerhalb der Grenzschicht wird die treibende Temperaturdifferenz gebildet; die Stoffwerte (kinematische Viskosität, Wärmeleitfähigkeit, Prandtl-Zahl, Ausdehnungskoeffizient) werden bei der mittleren Grenzschichttemperatur ausgewertet. Für ideale Gase ist der Ausdehnungskoeffizient der Kehrwert der absoluten Temperatur.
Rayleigh-Zahl bilden
Aus Erdbeschleunigung, Ausdehnungskoeffizient, Temperaturdifferenz, charakteristischer Länge und Viskosität wird die Grashof-Zahl gebildet und mit der Prandtl-Zahl zur Rayleigh-Zahl multipliziert. Bei geneigten Platten wird die wirksame Komponente der Erdbeschleunigung angesetzt.
Nusselt-Korrelation auswerten
Die Korrelation der gewählten Geometrie liefert mit der Prandtl-Zahl-Funktion die mittlere Nusselt-Zahl über den gesamten Rayleigh-Zahl-Bereich. Bei horizontalen Platten wird zwischen der instabilen (Wärmeabgabe nach oben) und der stabilen Orientierung (Wärmeabgabe nach unten) unterschieden, die deutlich unterschiedliche Nusselt-Zahlen liefern.
Wärmeübergang und Wärmestrom berechnen
Aus der Nusselt-Zahl folgt der Wärmeübergangskoeffizient über die Wärmeleitfähigkeit und die charakteristische Länge; multipliziert mit Fläche und Temperaturdifferenz ergibt sich der konvektiv abgegebene Wärmestrom. Für die Gesamtwärmeabgabe ist der Strahlungsanteil separat zu addieren.
Häufige Fragen
Ab wann wird die freie Konvektion an der vertikalen Platte turbulent?
Der Umschlag beginnt bei Rayleigh-Zahlen um 10⁹. Bei einer 1 m hohen Wand in Raumluft ist das schon bei rund 20 K Übertemperatur erreicht – reale Apparatewände liegen also häufig im Übergangs- oder turbulenten Bereich. Die Korrelation nach Churchill und Chu deckt laminaren und turbulenten Bereich in einer Gleichung ab, sodass keine fehleranfällige Fallunterscheidung nötig ist.
Warum unterscheiden sich Ober- und Unterseite einer horizontalen Platte so stark?
Gibt eine beheizte Platte die Wärme nach oben ab, steigt die erwärmte Luft ungehindert auf – die Schichtung ist instabil, der Wärmeübergang gut. An der beheizten Unterseite liegt die warme, leichte Luft an der Fläche an und kann nur seitlich abfließen – die Schichtung ist stabil, die Nusselt-Zahl deutlich kleiner. Bei gekühlten Platten kehren sich die Verhältnisse genau um. Die Orientierung muss deshalb immer korrekt gewählt werden.
Welche charakteristische Länge gilt für die horizontale Platte?
Nach VDI-Wärmeatlas das Verhältnis aus Plattenfläche und Umfang der Projektionsfläche (bei der Kreisscheibe also ein Viertel des Durchmessers). Diese Definition macht die Korrelation formunabhängig für Rechtecke, Kreise und andere Grundrisse. Wer stattdessen einfach die Kantenlänge einsetzt, erhält systematisch abweichende Rayleigh- und Nusselt-Zahlen.
Genügt die freie Konvektion zur Berechnung des Gesamtwärmeverlusts einer Fläche?
Nein. An Oberflächen mit üblichen Emissionsgraden (Lack, Kunststoff, oxidierter Stahl: 0,8 bis 0,95) ist der Strahlungsanteil bei kleinen und mittleren Übertemperaturen von gleicher Größenordnung wie die freie Konvektion. Der Strahlungsaustausch mit der Umgebung muss deshalb separat berechnet und addiert werden; nur bei blanken Metalloberflächen ist er klein.
Rechenbeispiel
Eine vertikale Apparatewand von 1,0 m Höhe hat eine Oberflächentemperatur von 40 °C und steht in ruhender Raumluft von 20 °C. Gesucht ist der mittlere Wärmeübergangskoeffizient der freien Konvektion und die flächenbezogene Wärmeabgabe (ohne Strahlung). Stoffwerte der Luft bei der Bezugstemperatur 30 °C: ν = 16,0·10⁻⁶ m²/s, λ = 0,0264 W/(m·K), Pr = 0,71; Ausdehnungskoeffizient β = 1/303,15 K⁻¹.
Gegeben
| Wandhöhe H | 1,0 m |
|---|---|
| Oberflächentemperatur ϑW | 40 °C |
| Lufttemperatur ϑ∞ | 20 °C |
| Kinematische Viskosität ν (30 °C) | 16,0·10⁻⁶ m²/s |
| Wärmeleitfähigkeit λ (30 °C) | 0,0264 W/(m·K) |
| Prandtl-Zahl Pr | 0,71 |
Lösungsweg
Rayleigh-Zahl bilden
Gr = g · β · Δϑ · H³ / ν² = 9,81 · (1/303,15) · 20 · 1,0³ / (16,0·10⁻⁶)² = 2,53·10⁹
Ra = Gr · Pr = 2,53·10⁹ · 0,71 = 1,80·10⁹
Prandtl-Zahl-Funktion
f1(Pr) = [1 + (0,492/Pr)9/16]−16/9 = [1 + (0,492/0,71)9/16]−16/9 = 0,347
Nusselt-Zahl nach Churchill und Chu
Nu = {0,825 + 0,387 · [Ra · f1(Pr)]1/6}²
Ra · f1 = 1,80·10⁹ · 0,347 = 6,23·10⁸
Nu = (0,825 + 0,387 · 6,23·10⁸1/6)² ≈ 147
Wärmeübergangskoeffizient und Wärmestromdichte
α = Nu · λ / H = 147 · 0,0264 / 1,0 ≈ 3,9 W/(m²·K)
q = α · Δϑ = 3,9 · 20 ≈ 78 W/m²
Für die Gesamtabgabe der Wand ist der Strahlungsanteil zu addieren, der bei üblichen Emissionsgraden in ähnlicher Größenordnung liegt.
Ergebnis
| Rayleigh-Zahl Ra | 1,80·10⁹ |
|---|---|
| Nusselt-Zahl Nu | ≈ 147 |
| Wärmeübergangskoeffizient α | ≈ 3,9 W/(m²·K) |
| Wärmestromdichte q | ≈ 78 W/m² |
Technische Inhaltsbasis: LV-Solved-Problems-Content 628d313247e7